20140807-广发证券-期权笔记系列之三_BSM及其改进版期权定价模型_21页_1mb

BSM 及其改进版期权定价模型总结

核心内容

Black-Scholes-Merton (BSM) 模型是期权定价领域的重要基础模型，其改进版本如 Practitioner Black-Scholes (PBS) 模型和 Gram-Charlier (G-C) 模型，分别针对模型的局限性进行了修正，以更准确地反映现实中的资产价格波动特征。

主要观点

• BSM 模型 是基于几何布朗运动假设的期权定价模型，其核心在于构建一个无风险组合并推导出偏微分方程（PDE）。
• PBS 模型 引入了确定性波动率函数（DVF）方法，将隐含波动率建模为行权价和剩余期限的函数，从而更好地拟合实际波动率曲线。
• Gram-Charlier 模型 通过将标的资产回报的条件分布展开到更高阶矩（偏度和峰度），对 BSM 模型进行修正，从而提高对极端市场情况的定价能力。

关键信息

BSM 模型的基本假设

1. 标的资产价格遵循几何布朗运动。
2. 无风险利率为常数。
3. 标的资产不支付股息。
4. 无交易成本和税收。
5. 市场是完全的、无套利的。

BSM 模型的推导方法

1. 鞅方法：通过测度变换，将实际测度转换为风险中性测度，从而推导出期权价格的期望值。
2. 二叉树方法：使用离散时间模型，通过无风险对冲构建期权价格的递归公式。

BSM 模型的局限性

• 假设资产价格服从对数正态分布，忽略了偏度和峰度的影响。
• 隐含波动率通常不是常数，而是与行权价和剩余期限相关。
• 市场存在摩擦和不确定性，与实际不符。

PBS 模型

• 假设隐含波动率是行权价和剩余期限的确定函数。

• 通过选取合适的误差函数和进行最小二乘回归，对波动率进行建模。

• 常见的 DVF 形式包括：

  • $\sigma_{iv} = a_0$
  • $\sigma_{iv} = a_0 + a_1 K + a_2 K^2$
  • $\sigma_{iv} = a_0 + a_1 K + a_2 K^2 + a_3 T + a_5 K T$
  • $\sigma_{iv} = a_0 + a_1 K + a_2 K^2 + a_3 T + a_4 T^2 + a_5 K T$

• 目标误差函数：

  • $MSE(a)$：权重偏向长期和价内期权。
  • $%MSE(a%)$：权重偏向短期和价外期权，可能导致结果不稳定。
  • $IVMSE(a_{IV})$：存在异方差问题，估计量有偏。

Gram-Charlier 模型

• 假设资产回报的条件分布为正态分布加上偏度和峰度调整项。
• 使用 Gram-Charlier 展开式对分布密度函数进行建模，提高对极端价格波动的刻画能力。
• 在风险中性测度下，期权价格公式为：

$$
C_{GC} = e^{-r(T - t)} \left(I_1 - \frac{c_{1T}}{3!} I_2 + \frac{c_{2T}}{4!} I_3 \right)
$$

其中 $I_1$ 为 BSM 公式，$I_2$ 和 $I_3$ 分别为偏度和峰度的调整项。

• 近似隐含波动率公式：
  $$
  \delta(d) = \sigma_T \left[ 1 - \frac{c_{1T}}{3!} d - \frac{c_{2T}}{4!} (1 - d^2) \right]
  $$

• 实证结果：

  • 在50ETF期权仿真数据中，PBS 模型在剩余期限约5个月时，对隐含波动率的拟合效果较好。
  • G-C 模型在不同偏度和峰度假设下，与 B-S 模型的定价差异可达 0.015 以上。

模型改进的意义

• PBS 模型：更贴近实际波动率曲线，便于建模和分析。
• G-C 模型：通过引入偏度和峰度，更准确地刻画资产价格分布，尤其适用于价格波动较大的情况。

风险提示

• BSM 模型及改进模型基于一系列假设，这些假设在现实中可能不成立。
• 使用历史数据进行建模，可能无法准确反映未来市场情况。
• 模型用于分析和预测，不能替代投资者的独立判断。

图表说明

• 图1：隐含波动率与剩余期限的关系。
• 图2：50ETF 波动率、偏度、峰度图。
• 图3：BS 与 PBS 隐含波动率的对比。
• 图4：不同偏度水平下 G-C 与 B-S 模型的定价差异。
• 图5：不同峰度水平下 G-C 与 B-S 模型的定价差异。

附录内容概要

• 附录一：BSM 公式的推导，包括鞅方法和二叉树方法。
• 附录二：累计量（Cumulant）的定义与性质，用于描述随机变量的分布特征。
• 附录三：Gram-Charlier 展开级数，用于构建分布密度函数的修正模型。

相关研究

• 期权定价树状模型（2014-07-16）
• 关于期权进展官方表态的点评
• 个股与股指期权全真模拟交易规则（2014-03-10）

分析师信息

• 俞文冰：首席分析师，S0260512040002
• 罗军、安宁宁、史庆盛、马普凡、张超：广发证券金融工程研究小组成员

投资评级说明

• 买入：预期未来12个月内，股价表现强于大盘 10% 以上。

• 持有：预期未来12个月内，股价相对大盘的变动幅度介于 -10%～+10%。

• 卖出：预期未来12个月内，股价表现弱于大盘 10% 以上。

• 公司投资评级：

  • 买入：股价强于大盘 15% 以上。
  • 谨慎增持：股价强于大盘 5%～15%。
  • 持有：股价变动幅度介于 -5%～+5%。
  • 卖出：股价弱于大盘 5% 以上。

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